Вариант I, Задача 4*: Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Пусть BM - медиана, BH - высота, BL - биссектриса. Надо доказать, что угол HBL равен углу MBL. Пусть угол A = α, тогда угол C = 90° - α. Так как BM - медиана, проведенная из вершины прямого угла, то BM = AM = CM. Значит, треугольник ABM - равнобедренный, и угол ABM = углу A = α. Так как BH - высота, то треугольник ABH - прямоугольный, и угол ABH = 90° - α. Угол LBC = 45° (так как BL - биссектриса угла B). Тогда угол HBL = угол LBC - угол HBC = 45° - (90° - α) = α - 45°. Угол MBL = угол ABM - угол ABL = α - 45°. Следовательно, угол HBL = углу MBL = α - 45°. Таким образом, биссектриса BL делит угол между высотой BH и медианой BM пополам. Доказано.