Вариант 2, Задача 3: В треугольнике ABC ∠C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°. a) Докажите, что AD = BC. б) Докажите, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка BC.

a) В треугольнике BDC: ∠DBC = 180° - 60° - 60° = 60°. Значит, треугольник BDC равносторонний и BC = BD = DC. В треугольнике ABC: ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - (30° + 60°) - 60° = 180° - 90° - 60° = 30°. В треугольнике ABD: ∠ADB = 180° - 30° - 30° = 120°. Но ∠BDC = 60°, поэтому AD + DC = AC. ∠A = ∠ABD = 30°, значит треугольник ABD равнобедренный и AD = BD. Так как BD = BC, то AD = BC. б) Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = AB + BC + AD + DC = AB + BC + BC + BC = AB + 3BC. Так как ∠ABD = 30° и ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 30° - 30° = 120°, то по теореме синусов AB/sin(∠ADB) = AD/sin(∠ABD), то есть AB/sin120° = BC/sin30°. Тогда AB = BC * sin120°/sin30° = BC * (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))/(1/2) = BC * \(\sqrt{3}\). Таким образом, периметр треугольника ABC равен BC * \(\sqrt{3}\) + 3BC = BC(3 + \(\sqrt{3}\)). \(\sqrt{3}\) ≈ 1.73, значит периметр ≈ BC * 4.73 < 5BC.