Вариант 1, Задача 3: В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C = 15°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. a) Докажите, что BD = 2AB. б) Докажите, что BC < 4AB.

a) В треугольнике ABD: ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = (90° - 15°) - 15° = 75° - 15° = 60°. Значит, ∠ADB = 180° - 90° - 60° = 30°. В прямоугольном треугольнике ABD катет AB лежит против угла 30°, значит, BD = 2AB. б) В треугольнике DBC: ∠DBC = ∠DCB = 15°, следовательно, треугольник DBC равнобедренный и BD = DC. Тогда AC = AD + DC = AD + BD. Так как AD это катет прямоугольного треугольника ABD, то AD < BD. Значит, AC < BD + BD = 2BD = 2(2AB) = 4AB. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о сумме углов, ∠ABC = 90 - 15 = 75°. По теореме синусов, BC/sinA = AC/sinB. То есть BC/sin90 = AC/sin75, следовательно BC = AC/sin75. Sin75 меньше 1, поэтому BC > AC. Отсюда получаем, BC < 4AB.