2240. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = √15 / 4. Найдите cos B.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусам, известно, что углы A и B являются острыми, и их сумма равна 90 градусам (так как сумма углов в треугольнике 180, и один угол уже 90). Значит, \(A + B = 90^\circ\), и \(B = 90^\circ - A\). Используем свойство, что косинус одного острого угла равен синусу другого острого угла в прямоугольном треугольнике, то есть \(cos B = sin A\). Нам дано \(cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}\). Сначала найдём \(sin A\), используя основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 A + cos^2 A = 1\] \[sin^2 A + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1\] \[sin^2 A + \frac{15}{16} = 1\] \[sin^2 A = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}\] \[sin A = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\] Так как \(cos B = sin A\), то \(cos B = \frac{1}{4}\). Ответ: \(cos B = \frac{1}{4}\)