В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

Рассмотрим треугольники (AB_1C_1) и (ABC). 1. Угол (A) является общим для обоих треугольников. 2. Так как (BB_1) и (CC_1) - высоты, то (\angle AB_1C_1 = \angle B_1BA = 90^{\circ}) и (\angle AC_1B_1= \angle C_1CA = 90^{\circ}). 3. Рассмотрим четырёхугольник (B_1CC_1B). У него углы при вершинах (B_1) и (C_1) прямые. Значит, углы (B) и (C) - углы, вписанные в окружность, и опирающиеся на одну хорду. Значит (\angle BB_1C_1 = \angle BCC_1). Из пунктов 1 и 3 следует, что углы треугольника (AB_1C_1) и углы треугольника (ABC) равны. По двум углам треугольники подобны. Ответ: Треугольники (AB_1C_1) и (ABC) подобны, так как у них есть общий угол, и два прямых угла.