7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 8, а BC=16.

В прямоугольном треугольнике ABC, CD – высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный (угол CDB равен 90 градусов). sin(∠CBD) = CD / BC Так же можно рассмотреть как sin(∠A) = BC/AB Но что нам это даст? Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD - высота. Из прямоугольного треугольника BCD: $\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC}$ Из прямоугольного треугольника ABC: $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$ Из прямоугольного треугольника ACD: $\sin(\angle A) = \frac{CD}{AC}$ $\cos(\angle A) = \frac{AD}{AC}$ В данном случае можно сказать, что \angle B = 90 - A, значит \sin(B) = \cos(A) $\cos(\angle A) = \frac{BC}{AB} => \cos(\angle A) = \frac{16}{8+AD}$ $\frac{CD}{BC}=\frac{16}{8+AD}$ С другой стороны из т. Пифагора: $\sqrt{BC^2-DB^2} = CD$, то есть $\sqrt{16^2-DB^2} = CD$ $\sqrt{256-DB^2} = CD$ Второй треугольник \sqrt{AC^2-AD^2} = CD$ $\sqrt{AC^2-AD^2} = \sqrt{256-DB^2}$ Можно сразу найти косинус угла B из треугольника BCD: $\cos B = DB/BC= 8/16 = 1/2$. Значит угол B = 60 градусов. А угол A = 90 - 60 = 30 градусов. Ответ: 30