24. В окружности через середину О хорды АВ проведена хорда CD так, что дуги АС и BD равны. Докажите, что О — середина хорды CD.

Привет, ребята! Давайте докажем это утверждение. **Дано:** - Окружность с центром (не указан, но не важен). - Хорда AB. - O - середина хорды AB. - Хорда CD проходит через точку O. - Дуга AC равна дуге BD (\(\stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{BD}\)). **Доказать:** O - середина хорды CD (CO = OD). **Доказательство:** 1. **Соединим точки A и C, B и D.** Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\). 2. **Равенство углов:** - Так как \(\stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{BD}\), то вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны: \(\angle ABC = \angle BAC\). Пусть \(\angle AOC = \alpha\). 3. **Свойства хорд:** - Так как О - середина хорды AB, то прямая, проходящая через центр окружности и середину хорды, перпендикулярна этой хорде. Но центр окружности нам неизвестен и это свойство здесь не поможет напрямую. Нам важно, что \(AO = OB\). 4. **Рассмотрим \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\):** - (AO = OB) (по условию O - середина AB). - \(\angle CAO = \angle DBO\) (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги \(\stackrel{\frown}{BD} = \stackrel{\frown}{AC}\)). 5. **Дополнительное построение:** Проведем перпендикуляры из центра окружности (пусть будет точка (E)) к хордам (CD) и (AB), обозначим точки пересечения как (F) и (O) соответственно. Таким образом, (EF \perp CD) и (EO \perp AB). Тогда (CF = FD) и (AO = OB). Так как (AO = OB) и (CD) проходит через (O), нужно доказать, что (CO = OD). Рассмотрим углы между хордами. \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные. Соединим центр (E) с точками (C) и (D). Тогда \(\triangle CEO = \triangle DEO\), так как (EC = ED) (как радиусы), (EO) - общая и углы \(\angle EOC = \angle EOD\) (так как дуги равны, то и центральные углы, опирающиеся на них, равны). Следовательно, (CO = OD). **Вывод:** Так как (CO = OD), точка O является серединой хорды CD. Что и требовалось доказать.