20. Решите уравнение \(3x^2 + \sqrt{20 - 7x} = 14x + \sqrt{20 - 7x} - 11\).

Привет, ученики! Давайте решим это уравнение вместе. 1. **Упрощение уравнения:** Обратите внимание, что у нас есть \(\sqrt{20 - 7x}\) в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть это выражение из обеих частей: \[3x^2 + \sqrt{20 - 7x} - \sqrt{20 - 7x} = 14x + \sqrt{20 - 7x} - \sqrt{20 - 7x} - 11\] \[3x^2 = 14x - 11\] 2. **Преобразование уравнения к квадратному виду:** Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \[3x^2 - 14x + 11 = 0\] 3. **Решение квадратного уравнения:** Теперь нужно решить квадратное уравнение \(3x^2 - 14x + 11 = 0\). Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта или теоремой Виета. Давайте использовать дискриминант: Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = -14\), \(c = 11\). \[D = (-14)^2 - 4 cdot 3 cdot 11 = 196 - 132 = 64\] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{64}}{2 cdot 3} = \frac{14 + 8}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{64}}{2 cdot 3} = \frac{14 - 8}{6} = \frac{6}{6} = 1\] 4. **Проверка корней:** Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли корни исходному уравнению. Основное ограничение: \(20 - 7x \ge 0\), чтобы корень имел смысл. То есть \(x \le \frac{20}{7} \approx 2.86\). - Для \(x_1 = \frac{11}{3} \approx 3.67\): Это значение не удовлетворяет условию \(x \le \frac{20}{7}\), так как \(3.67 > 2.86\). Значит, это посторонний корень. - Для \(x_2 = 1\): Это значение удовлетворяет условию \(x \le \frac{20}{7}\), так как \(1 < 2.86\). 5. Подставим \(x_2 = 1\) в исходное уравнение для проверки: \[3(1)^2 + \sqrt{20 - 7(1)} = 14(1) + \sqrt{20 - 7(1)} - 11\] \[3 + \sqrt{13} = 14 + \sqrt{13} - 11\] \[3 + \sqrt{13} = 3 + \sqrt{13}\] Это равенство верно, поэтому \(x = 1\) является решением. **Ответ:** \(x = 1\)