23. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE = 5, EC = 2, a \(\angle ABC = 150^\circ\).

Привет, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Анализ условия:** - ABCD - параллелограмм. - AE - биссектриса угла A, пересекает BC в точке E. - BE = 5, EC = 2, следовательно, BC = BE + EC = 5 + 2 = 7. - \(\angle ABC = 150^\circ\). 2. **Свойства параллелограмма и биссектрисы:** - В параллелограмме противоположные стороны равны: BC = AD = 7 и AB = CD. - Так как AE - биссектриса угла A, то \(\angle BAE = \angle EAD\). - \(\angle BCA = \angle DAC\) как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. - \(\angle BEA = \angle EAD\) как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE. Таким образом, \(\angle BAE = \angle BEA\). 3. **Равнобедренный треугольник ABE:** Так как \(\angle BAE = \angle BEA\), треугольник ABE равнобедренный, и AB = BE = 5. 4. **Площадь параллелограмма:** Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\] где (a) и (b) - стороны параллелограмма, а \(\alpha\) - угол между ними. В нашем случае (a = AB = 5), (b = BC = 7), \(\alpha = \angle ABC = 150^\circ\). \[S = 5 \cdot 7 \cdot \sin(150^\circ)\] Мы знаем, что \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \[S = 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{2} = 17.5\] **Ответ:** Площадь параллелограмма ABCD равна 17.5.