22. Постройте график функции \(y = \begin{cases} -x^2 - 2x + 1, & x \le 2, \\ \frac{14}{x}, & x > 2 \end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ребята, это интересная задача. Разберем её по шагам. 1. **Анализ функции:** Функция состоит из двух частей: - Для \(x \le 2\): \(y = -x^2 - 2x + 1\) - это парабола, ветви которой направлены вниз. - Для \(x > 2\): \(y = \frac{14}{x}\) - это гипербола. 2. **Анализ параболы:** Чтобы построить параболу, найдем вершину и значение функции при (x = 2). - Вершина параболы: (x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = -1). (y_v = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2). - Вершина параболы находится в точке ((-1, 2)). - При (x = 2): (y = -(2)^2 - 2(2) + 1 = -4 - 4 + 1 = -7). 3. **Анализ гиперболы:** Чтобы построить гиперболу, рассмотрим поведение функции при (x > 2). - При (x = 2): (y = \frac{14}{2} = 7). - При (x \to \infty): (y \to 0). 4. **Построение графика:** Теперь мы можем построить график функции. Парабола определена для (x \le 2), а гипербола - для (x > 2). ```html ``` 5. **Анализ прямой (y = m):** Прямая (y = m) - это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения (m), чтобы эта прямая пересекала график функции ровно в двух точках. - Если (m > 7), прямая пересекает только параболу в двух точках. - Если (m = 7), прямая пересекает параболу в двух точках и приближается к гиперболе. - Если (-7 < m < 2 ), прямая пересекает график в двух точках: параболу в двух точках. - Если (m=2\), прямая касается параболы и пересекает гиперболу. - Если (m < -7\), прямая не пересекает график. - Если (m = -7), прямая пересекает график в одной точке. 6. **Вывод:** Прямая (y = m) имеет ровно две общие точки с графиком функции при: - (-7 < m < 2\) - ( m > 7 ) **Ответ:** Прямая (y = m) имеет с графиком функции ровно две общие точки при (m \in (-7; 2) \cup (7; +\infty)).