6. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30° в прямоугольном треугольнике равна 24 см. Найдите площадь круга, описанного около треугольника.

Пусть гипотенуза равна $c$, а катет, лежащий против угла 30°, равен $a$. Тогда $c + a = 24$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть $a = \frac{c}{2}$. Подставим это в первое уравнение: $c + \frac{c}{2} = 24$, следовательно, $\frac{3}{2}c = 24$, откуда $c = 16$ см, а $a = 8$ см. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть $R = \frac{c}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Площадь круга равна $S = \pi R^2 = \pi (8^2) = 64\pi$ см$^2$. Ответ: $64\pi$ см$^2$.