7. Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{(x-9)^2}{x^2 + x - 12} \le 0$.

Решим неравенство $\frac{(x-9)^2}{x^2 + x - 12} \le 0$. Числитель $(x-9)^2$ всегда неотрицателен. Значит, дробь может быть меньше или равна нулю только если числитель равен 0 или знаменатель отрицателен. 1. $(x-9)^2 = 0 \Rightarrow x = 9$ 2. $x^2 + x - 12 < 0$. Разложим на множители: $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$. Получаем $(x+4)(x-3) < 0$. Решаем методом интервалов: $x \in (-4, 3)$. Итак, неравенство выполняется, когда $x \in (-4, 3) \cup \{9\}$. Наибольшее целое решение - это 2. Но, $x
e 3$ и $x
e -4$. Значит, берем наибольшее число из интервала $(-4, 3)$, это 2. Однако, при $x = 9$ числитель обращается в 0, а знаменатель не равен 0. Следовательно $x = 9$ является решением. Так как нас просят найти наибольшее целое решение, то это 9. Ответ: 9