10. AM - медиана треугольника ABC, площадь которого 120 см². E - середина медианы AM. Луч BE пересекает сторону AC в точке K. Найти площадь четырехугольника MEKC.

Пусть площадь треугольника ABC равна $S_{ABC} = 120$ см$^2$. Так как AM - медиана, то площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC: $S_{ABM} = \frac{1}{2}S_{ABC} = 60$ см$^2$. Так как E - середина AM, то площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABM: $S_{ABE} = \frac{1}{2}S_{ABM} = 30$ см$^2$. Пусть площадь треугольника AEK равна $x$, тогда площадь треугольника MEK также равна $x$. Площадь треугольника ABK равна площади треугольника ABE + площадь треугольника BEK. Также мы знаем, что $\frac{AK}{KC} = \frac{S_{ABK}}{S_{BCK}}$. Т.к. $S_{ABC} = 120$ см$^2$ , то $S_{ABK} + S_{BCK} = 120$ см$^2$. По теореме Менелая для треугольника ACM и секущей BEK: $\frac{AE}{EM} \cdot \frac{MB}{BC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$ $\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 \implies \frac{CK}{KA} = 2 \implies \frac{AK}{AC} = \frac{1}{3}$ Тогда $S_{ABK} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 120 = 40$ см$^2$. Следовательно, $S_{BEK} = S_{ABK} - S_{ABE} = 40 - 30 = 10$ см$^2$ и $S_{MEK} = S_{AEK} = x$. Пусть $S_{MEKC} = S_{MEK} + S_{EKC}$. Так как $S_{AEK} = \frac{1}{2}S_{AME} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}S_{AMC}$, то $S_{EKC} = 2S_{AEK}$. Итак, $AK = \frac{1}{3}AC$, а $KC = \frac{2}{3}AC$. Значит, $S_{AKM} = \frac{1}{3}S_{AMC} = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20 см^2$, а $S_{MKC} = \frac{2}{3}S_{AMC} = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40 см^2$. Так как $AE = EM$, то $S_{AEM} = \frac{1}{2}S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$. Тогда $S_{MEK} = \frac{EK}{BE}S_{BEM}$. Площадь четырехугольника $MEKC = S_{MEK} + S_{EKC} = 25$. Ответ: 25 см$^2$.