9. Решите уравнение, в котором слагаемые в сумме, записанной в левой части, составляют арифметическую прогрессию: а) 2 + 6 + 10 + ... + x = 450; б) 80 + 27 + 24 + ... + x = 162. Указание. Найдите сначала номер последнего члена прогрессии.

a) 2 + 6 + 10 + ... + x = 450 Здесь a₁ = 2, d = 4. Пусть *n* - количество членов в прогрессии. Тогда x = aₙ = a₁ + (n-1)d = 2 + (n-1)4. Сумма арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2 + x)}{2} = 450$. $rac{n(2 + 2 + (n-1)4)}{2} = 450 => rac{n(4 + 4n -4)}{2} = 450 => rac{4n^2}{2} = 450 => 2n^2 = 450 => n^2 = 225 => n = 15$. Тогда x = 2 + (15-1)4 = 2 + 14*4 = 2 + 56 = 58. б) 80 + 27 + 24 + ... + x = 162 Здесь a₁ = 80, не арифметическая прогрессия. a₁ = 27, d = -3. Нужно найти *n*. Sₙ = 162 - 80 = 82. $S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ 82 = $\frac{n(2(27) + (n-1)(-3))}{2} \Rightarrow$ 164 = n(54 -3n + 3) $\Rightarrow$ 164 = n(57 - 3n) $\Rightarrow$ 3n² - 57n + 164 = 0 D = (-57)² - 4 * 3 * 164 = 3249 - 1968 = 1281. Уравнение не имеет целочисленных решений. Ответы: a) x = 58 б) Задача не имеет решения в целых числах.