4. Найдите сумму: а) всех натуральных чисел, не превышающих 50; б) всех натуральных чисел, кратных 4, не превышающих 100; в) всех нечетных чисел, не превышающих 100.

a) Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50: Это сумма чисел от 1 до 50. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n = 50$, $a_1 = 1$, $a_n = 50$. $S_{50} = \frac{50(1 + 50)}{2} = \frac{50 * 51}{2} = 25 * 51 = 1275$. б) Сумма всех натуральных чисел, кратных 4, не превышающих 100: Это сумма чисел 4, 8, 12, ..., 100. Здесь $a_1 = 4$, $d = 4$, $a_n = 100$. Найдем *n*: $a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 100 = 4 + (n-1)4 \Rightarrow 96 = (n-1)4 \Rightarrow 24 = n-1 \Rightarrow n = 25$. $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. $S_{25} = \frac{25(4 + 100)}{2} = \frac{25 * 104}{2} = 25 * 52 = 1300$. в) Сумма всех нечетных чисел, не превышающих 100: Это сумма чисел 1, 3, 5, ..., 99. Здесь $a_1 = 1$, $d = 2$, $a_n = 99$. Найдем *n*: $a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 99 = 1 + (n-1)2 \Rightarrow 98 = (n-1)2 \Rightarrow 49 = n-1 \Rightarrow n = 50$. $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. $S_{50} = \frac{50(1 + 99)}{2} = \frac{50 * 100}{2} = 25 * 100 = 2500$. Ответы: a) 1275 б) 1300 в) 2500