8. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один автомобиль двигался равномерно со скоростью 60 км/ч, а другой в первый час прошел 45 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов автомобили встретились?

Пусть *t* - время до встречи. Первый автомобиль проехал $60t$ км. Для второго автомобиля, расстояние, которое он проехал за *t* часов, можно выразить как сумму арифметической прогрессии: $S_t = \frac{t}{2}(2a_1 + (t-1)d)$, где $a_1 = 45$ и $d = 5$. Тогда $S_t = \frac{t}{2}(2 * 45 + (t-1) * 5) = \frac{t}{2}(90 + 5t - 5) = \frac{t}{2}(85 + 5t)$. Сумма расстояний, пройденных двумя автомобилями, равна 450 км: $60t + \frac{t}{2}(85 + 5t) = 450$. Умножим обе части уравнения на 2: $120t + t(85 + 5t) = 900 \Rightarrow 120t + 85t + 5t^2 = 900 \Rightarrow 5t^2 + 205t - 900 = 0$. Разделим обе части уравнения на 5: $t^2 + 41t - 180 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения: $t = \frac{-41 \pm \sqrt{41^2 - 4 * 1 * (-180)}}{2} = \frac{-41 \pm \sqrt{1681 + 720}}{2} = \frac{-41 \pm \sqrt{2401}}{2} = \frac{-41 \pm 49}{2}$. У нас два корня: $t_1 = \frac{-41 + 49}{2} = \frac{8}{2} = 4$ и $t_2 = \frac{-41 - 49}{2} = \frac{-90}{2} = -45$. Так как время не может быть отрицательным, то $t = 4$ часа. Ответ: Через 4 часа автомобили встретятся.