25 Окружность радиуса 8 касается внешним образом второй окружности в точке В. Общая ка-сательная к этим окружностям, проходящая через точку В пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке А. Найдите радиус второй окружности, если АВ = 12.

Привет! Решим геометрическую задачу. Пусть O1 - центр первой окружности (радиуса R1 = 8), O2 - центр второй окружности (радиуса R2), B - точка касания окружностей, A - точка пересечения общих касательных. 1. Заметим, что прямая O1O2 проходит через точку B (так как окружности касаются внешним образом). 2. Пусть M и N - точки касания общей касательной, проходящей через A, с первой и второй окружностями соответственно. Тогда AM = AN (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности). 3. Пусть AK - общая касательная в точке B. Так как AB - касательная, то угол O1BA = 90 градусов и O2BA=90 градусов. Угол ABM = углу ABN. Тогда углы AMO1 и ANO2 тоже прямые. 4. Треугольники AMO1 и ANO2 подобны (по двум углам, оба прямоугольные и угол MAO1 = углу NAO2). 5. Из подобия треугольников следует, что R1/R2 = AO1/AO2. 6. Так как AM касательная и О1М радиус, то треугольник AMO1 прямоугольный. Теорема Пифагора: АО1^2 = AM^2 + O1M^2 АО1^2 = AM^2 + 8^2 АО1^2 = AM^2 + 64 7. Аналогично АО2^2 = AN^2 + O2N^2 АО2^2 = AN^2 + R2^2 АО2^2 = AM^2 + R2^2 (так как AN = AM) 8. Найдем связь между AM и AB. Рассмотрим треугольник ABO1 и ABO2. АО1/AO2 = R1/R2 = 8/R2. Примем угол O1AB=a, тогда угол O2AB тоже равен a, AB - общая сторона. 9. Угол O1BA - прямой (90 градусов). По теореме Пифагора для треугольника O1BA: AO1^2 = O1B^2 + AB^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208 AO1 = √208 = 4√13 10. AO2 = AO1 * R2/8 = 4√13 * R2/8 = (√13 * R2)/2 11. Подставим значения в уравнение AO2^2 = AM^2 + R2^2. ((√13 * R2)/2)^2 = AM^2 + R2^2 (13R2^2) / 4 = AM^2 + R2^2 AM^2 = (13R2^2) / 4 - R2^2 = (9R2^2)/4 AM = (3R2)/2 12. В треугольнике AMO1: AO1^2 = AM^2 + O1M^2 (4√13)^2 = ((3R2)/2)^2 + 8^2 208 = (9R2^2) / 4 + 64 144 = (9R2^2)/4 144 * 4 = 9R2^2 576 = 9R2^2 R2^2 = 64 R2 = 8 (R2 не может быть отрицательным) Ответ: Радиус второй окружности равен 8.