25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 18, а площадь равна 40,5√2.

Решение: Пусть катеты треугольника a и b. Тогда: Площадь: S = 0.5 * a * b = 40.5√2 => a * b = 81√2 Гипотенуза: a^2 + b^2 = 18^2 = 324 (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 * a * b = 324 + 2 * 81√2 = 324 + 162√2 (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b = 324 - 2 * 81√2 = 324 - 162√2 Пусть α и β - острые углы треугольника. Тогда sin(α) = a / 18 и cos(α) = b / 18 sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α) = 2 * (a / 18) * (b / 18) = (2 * a * b) / 324 = (2 * 81√2) / 324 = √2 / 2 2α = arcsin(√2 / 2) = 45° или 135° α = 22.5° или 67.5° Если α = 22.5°, то β = 90° - 22.5° = 67.5° Если α = 67.5°, то β = 90° - 67.5° = 22.5° Ответ: Углы равны 22.5° и 67.5°