59. $ABCD$ - трапеция. $MN = 20$ - средняя линия. $OK - ?$

Так как $MN$ - средняя линия трапеции, то $MN = (BC + AD) / 2 = 20$. Окружность вписана в трапецию, поэтому трапеция равнобедренная, а высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности. Средняя линия $MN$ проходит через середину высоты, а точка $O$ - центр окружности, следовательно, $OK$ - радиус вписанной окружности. Если трапеция описана около окружности, то сумма ее боковых сторон равна сумме оснований. $AB + CD = BC + AD$ Т.к. трапеция равнобедренная, то $AB = CD$, следовательно, $2AB = BC + AD$ Так как $MN = (BC + AD) / 2 = 20$, то $BC + AD = 40$. $2AB = 40$ $AB = 20$ Чтобы найти радиус, нам нужно знать высоту трапеции. Однако, информации для определения $OK$ недостаточно. Если предположить, что трапеция прямоугольная, то $OK$ равен половине средней линии, то есть 10. Но это не указано в условии. Пусть $h$ - высота трапеции. Тогда $OK = h/2$, где $h$ - высота трапеции. Ответ: Информации недостаточно, чтобы однозначно определить $OK$.