55. $ABCD$ - прямоугольник. $AD = 10, \angle AOB = 120^\circ$. Найти $AO - ?$

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = BO$. Треугольник $AOB$ - равнобедренный, так как $AO = BO$. $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$ Рассмотрим треугольник $AOD$. $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ Так как $AO = DO$ (половины диагоналей), то треугольник $AOD$ - равнобедренный, а так как $\angle AOD = 60^\circ$, то этот треугольник равносторонний, значит $AO = AD = 10$. Ответ: $AO = 10$