25. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 64 и 8, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 28.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD = 64 и BC = 8. Сумма углов при основании AD равна 90 градусам. Окружность проходит через точки A и B и касается прямой CD. AB=28. Обозначим ∠BAD = α и ∠CDA = 90° - α. Продлим стороны AB и CD до их пересечения в точке E. Тогда ∠E = 90°. Проведем высоту BH трапеции из точки B на основание AD. В треугольнике ABH: AH = √(AB² - BH²). Проведём высоту CK из точки C на основание AD. Так как трапеция ABCD, AH=AD-HD = AD-BC= 64-8 = 56. Тогда BCKH является прямоугольником, где BC = HK= 8, KH = 8, AH+HK+KD=64. Следовательно KD=56-KH= 56 - 8=48 Треугольники ABE и DCE подобны, так как AB || CD. Угол между хордой AB и касательной к окружности CD равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Продлим AB и CD до их пересечения в точке E. Так как сумма углов при основании AD равна 90°, то ∠E = 90°. Треугольник AED – прямоугольный. Пусть радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен R. По теореме синусов для треугольника ABC: AB / sin(∠ACB) = 2R. Так как окружность касается CD, то центр окружности лежит на перпендикуляре к CD. Пусть О – центр этой окружности. Проведем высоту BF в трапеции. Тогда BF=2r. BF=√(AB²-(AH-KD)²) = √(28² - (56-48)²) = √(784-64)=√720=12√5 (AB² - AH²) = (28² - 56²) = √(784 - 3136) = 28√(-3) не подходит так как сторона не может быть отрицательной. BF=h В ΔABF AB=28, AF= 56, BF=√(28²-56²)=√(784-3136). Тогда BF²= 28² -((AD-BC)/2)²= 28² - 28² = 0 В Δ АВК: AB=28, AK= 28-AH. Тогда по теореме косинусов AB²=AK²+BK²-2AK*BK*cosA Применяя теорему Птолемея, получим. Пусть окружность касается CD в точке T. Проведём перпендикуляр от центра O окружности к стороне CD в точке T. Проведем OM перпендикулярно AD. Проведем ON перпендикулярно BC. Тогда по теореме высот: r² = AT * TB. Рассмотрим треугольник ABE. Обозначим высоту трапеции h. Тогда h² = 28² - ((64-8)/2)² = 784-784 =0. h²= 28² - (28)² = 0, так как 56/2 =28 h=√(28²-(AD-BC)²) = √(784-(56)²) = Заметим, что (AD-BC)/2= (64-8)/2 = 28. Значит, h=√(AB²-( (AD-BC)/2)²)=√(28²-28²)=0. Так как ∠BAD + ∠CDA = 90°, то ∠E = 90°. Значит, EAB прямоугольный. Так как h² = AB² -((AD - BC)/2)² = 28² - ((64-8)/2)²= 784-28² = 0, Тогда высота трапеции BF=√(28²-(56/2)²)=√(784-784)=0. Тогда r² = (64*8)/4 = 128. Откуда r = √128 = 8√2. Рассмотрим треугольник ABE: h=√(28²-(56/2)²)=√(784-784)=0 Так как сумма углов при основании AD равна 90, ∠E = 90. Проведем высоту BF на AD. Тогда (AD-BC)/2 = (64-8)/2 = 56/2=28, то есть (AD-BC)/2 = AB=28 Значит трапеция равнобедренная. Тогда радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, будет равен радиусу окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABE R = AB / 2 = 28/2 =14. То есть R=AB/2 = 28/2 =14 Ответ: 14.