24. Окружность касается стороны KM треугольника KLM, у которого ∠L = 90°, и продолжений его сторон LK и LM за точки K и M соответственно. Докажите, что периметр треугольника KLM равен диаметру этой окружности.

Пусть окружность касается стороны KM в точке N, а продолжений сторон LK и LM в точках P и Q соответственно. Пусть радиус окружности равен r. По свойствам касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем: 1. LP = LK 2. MQ = ML 3. KP = KN 4. MQ = MN Периметр треугольника KLM: P = KL + LM + KM KM = KN + NM Суммируя касательные: P = LK + LM + KN + NM = LP + MQ + KP + MQ = LK + LM + KN + MN = (LK + KP) + (LM + MQ) = LK + KL + LM + LM Используем свойства касательных: P = LK + LM + KM = (LP + KQ) KM= KN + NM. По свойствам касательных, проведенных из одной точки к окружности, LP = LK; MQ = ML; KP = KN; MQ = MN Тогда периметр треугольника KLM: P= LK + LM + KM = LP + MQ + KN + NM P = LK + LM + KN + MN = LP+KQ=LK+KP+LM+MQ= (LK+KP)+(LM+MQ) = 2LP + 2MQ Обозначим точки касания окружности с продолжениями сторон LK и LM за точки P и Q. Тогда LK=LP и LM =LQ. Дальше KM = KN+MN; KN=KP и MN=MQ. Периметр треугольника KLM = LK+LM+KM = LK+LM+KN+MN = LK+LM+KP+MQ = LP+LQ+KP+MQ=LP+KP + LQ+MQ= 2LP+2LQ=2(LP+LQ) = 2R. Так как LP+KQ=2R, а L- прямой, то 2R- диаметр. Следовательно, периметр треугольника KLM равен 2r, который является диаметром вписанной окружности. Ответ: Периметр треугольника KLM равен диаметру этой окружности.