23. Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит её пополам (см. рис. 127). Найдите сторону AC, если сторона AB равна 6.

Пусть точка пересечения AD и BM - точка K. Так как AD перпендикулярна BM и делит её пополам, треугольник ABK является равнобедренным, и AB = AK. Так как AK = 6, то сторона AK= 6. В треугольнике ABC, медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому AM = MC. Так как AD перпендикулярна BM, то AD - высота и медиана в треугольнике ABK, значит ABK равнобедренный. То есть AK= AB = 6. Так как K делит BM пополам, то BK = KM. Так как AM = MC, то MK это средняя линия треугольника ABC. MK = 1/2 * AB = 1/2 * 6 = 3. По условию задачи BK = KM =3. Так как AK= 6, BK=3, AM = MC. Треугольник ABK равнобедренный (AB = AK =6), значит треугольник ABK является равнобедренным, а значит угол ABK равен углу AKB. Так как AD перпендикулярна BM, то угол AKB=90. И AK делит медиану BM на две равные части, то есть BK=KM. И так как K- середина BM, то AK это серединный перпендикуляр к BM, следовательно треугольник ABM- равнобедренный. Следовательно AB=AM=6. Так как M- середина AC, то AC =2*AM = 2*6= 12. Ответ: 12