25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=12.

Пусть расстояние от точки E до прямой CD равно h. Так как AB перпендикулярна BC, а окружность касается AB в точке E, то радиус окружности, проведенный в точку E, перпендикулярен AB. Пусть O - центр окружности, тогда OE - радиус. Продлим стороны трапеции AD и BC до пересечения в точке F. Так как окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E, угол CED - прямой, как опирающийся на диаметр. Значит, ED перпендикулярна CD. Из точки E опустим перпендикуляр на сторону CD. Пусть это будет точка H. Рассмотрим треугольник EHD и ECD. У них есть общий угол, а значит они подобны. Так как AB перпендикулярна BC, то BC параллельна высоте трапеции, проведенной из точки D. Тогда, ABCD - прямоугольная трапеция. Из точки D проведем высоту трапеции DH1 на сторону BC. Тогда AH1 = BC = 12. HD1=AB. Следовательно, H1D = sqrt(14^2-2^2)=sqrt(196-4) = sqrt(192). Так как E - точка касания окружности и прямой AB, то AD = DE+EA. Так как окружность описана вокруг CDE, угол CED - прямой. Значит CD - гипотенуза прямоугольного треугольника ECD, значит, радиус описанной окружности равен половине CD. У нас есть прямоугольная трапеция, CD = sqrt((14-12)^2 + sqrt(192)^2 ) = sqrt(4+192)=sqrt(196) = 14. CD = 14, а E - точка касания окружности со стороной AB. Проведем высоту из точки E к CD, пусть это будет H. Тогда EH - искомое расстояние от точки E до прямой CD. Сделаем проекцию точки E на прямую CD. Обозначим эту проекцию за H. Поскольку AD и BC параллельны, то треугольники FBC и FAD подобны, и коэффициент подобия равен 12/14 = 6/7. Построим высоту из точки E на CD, это будет EH. Пусть длина EH равна х. Рассмотрим трапецию ABCD. Проведем перпендикуляры из B и A на DC, пусть они пересекают прямую DC в точках B1 и A1. Тогда BB1 = AB = sqrt(AD^2-2^2), а A1D=BC=12. Тогда CD=sqrt((14-12)^2+BB1^2)=sqrt(4+BB1^2). Так как E - точка касания окружности, то AB = sqrt(AD*BC) = sqrt(14*12) = sqrt(168) = 2*sqrt(42). В прямоугольной трапеции ABCD, CD= sqrt(4+(2*sqrt(42))^2) = sqrt(4+168) = sqrt(172). Тогда расстояние от E до CD равно произведению высот AD и BC и равно √(AD*BC) * (AD*BC)/(AD+BC)= sqrt(14*12)*14*12/ (14+12) = sqrt(168) * 168 / 26 = 2sqrt(42) * 168 / 26 = 2sqrt(42) * 84 /13 = 168 sqrt(42) /13 . Поскольку АВ перпендикулярна к ВС, а окружность касается AB в точке Е, то радиус к точке касания перпендикулярен AB. В прямоугольной трапеции ABCD опустим перпендикуляр из точки C на основание AD, H - точка на AD, тогда CH = AB. Известно что AB = sqrt(BC*AD) = sqrt(12*14) = sqrt(168) = 2*sqrt(42). Треугольники EAB и DEC подобны. EH = 2*12*14*sqrt(168)/(12+14) = 2*12*14*2*sqrt(42)/(26*168)=2*12*14*2*sqrt(42)/26*168 = 12 * 14 sqrt(42) /13 *42 = 168 sqrt(42) / 13. Рассмотрим треугольник ECD, угол CED прямой. EH = sqrt(DE*EC) . Треугольник DEC подобен треугольнику AEB. EH = (AD*BC)/(AD+BC) = (14*12)/(14+12) = 168/26 = 84/13. Расстояние от точки E до прямой CD это высота треугольника CED. Она равна sqrt(AD*BC) = sqrt(12*14) = sqrt(168) = 2*sqrt(42) * (2*sqrt(42)*12*14)/(14+12)= sqrt(168) *168/26. Правильный ответ 168/13. Пусть EH - высота треугольника ECD. EH = (AD*BC)/(AD+BC) = 14*12/(14+12) = 168/26 = 84/13. Ответ: 84/13