24. Биссектрисы углов E и L параллелограмма ELKA пересекаются в точке N, лежащей на стороне KA. Докажите, что N - середина KA.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Биссектрисы углов E и L пересекаются в точке N, лежащей на стороне KA. Пусть биссектриса угла E пересекает сторону KA в точке M, а биссектриса угла L пересекает сторону KA в точке P. Тогда N = M = P. Поскольку EL параллельна KA, угол LEK = угол EKA (как накрест лежащие). Также угол KEL = угол LKA (как накрест лежащие). Так как EN биссектриса угла E то угол KEN=NEL. Аналогично LN биссектриса угла L то угол KLP=PLE. Так как EL параллельна KA, угол NEL = ENA, угол PLE = NLA, значит угол KEN=ENA. Тогда треугольник EAN равнобедренный с EA=AN. Аналогично треугольник LNK равнобедренный с LN=NK. Так как противоположные стороны в параллелограмме равны, то EL=KA. Так как N лежит на стороне KA, то LN и NE биссектрисы углов. Треугольник LEN равнобедренный, тк угол EKN=KLE, угол KEN=NLA. EN = LN = NK = EA. Тк AE и LN параллельны, следовательно EANL является параллелограммом и LA = EN. Из этого следует, что EA=AN=LN=NK, а следовательно AN = NK. Ответ: Точка N - середина стороны KA. Что и требовалось доказать.