23. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершину B. Найдите радиус окружности, если AK=9, а сторона AC в 1,5 раза больше радиуса окружности.

Так как окружность проходит через вершины B и K, то угол BKP вписанный, опирается на ту же дугу, что и вписанный угол BAC. Значит, углы BKP и BAC равны. Также они равны, если окружность проходит через вершину C. Заметим, что в этом случае четырехугольник BKPC - вписанный в окружность. Так как AK=9, и AC в 1.5 раза больше радиуса окружности, то AC = 1.5R, а AC = 9 + CK. В треугольнике ABK: ∠AKB = 180 - ∠ABC. Если окружность проходит через C, то ∠AKB = ∠ACB. И ∠ABC = ∠ACB. Треугольник АВС - равнобедренный и AB=AC, а K=P, AK=AP=9. Тогда AC=1.5R, откуда R=18. Ответ: 18