10. Треугольник ABC прямоугольный (∠C=90°), P ∈ AC и K ∈ AB, причем PK || BC и PK = KB, AP = 5 дм, PC = 4 дм. Найдите периметр треугольника ABC.

Так как PK || BC и угол C прямой, то треугольник APK тоже прямоугольный. Также PK=KB значит треугольник PKB равнобедренный с равными углами KPB и KBP. Угол KPB равен углу ABC как соответсвенные при PK||BC. Значит угол KBP равен углу ABC. Таким образом, треугольники ABC и APК подобны, а PK = KB. Из того, что PK = KB, получаем AK = AP = 5 дм. Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора AC^2 + BC^2 = AB^2. AC = AP + PC = 5+4=9 дм По подобию треугольников APK и ABC, AP/AB = PK/BC = AK/AC. AK/AC = 5/9. Также PK = KB = x. Тогда AB=AK+KB = 5 +x Также AP/AB = PK/BC. Тогда 5/(5+x) = x/BC. Из подобия треугольников PKB и ABC, BK/AB = PK/BC => x/(5+x) = x/BC => BC = 5 + x. Также BK=x. Из подобия треугольников AKB и ABC => AK/AC = BK/BC => 5/9 = x/BC Из подобия треугольников APK и ABC => PK/BC = AP/AC => x/BC = 5/9 То есть BC = 9x/5 5+x = 9x/5 25+5x = 9x 25 = 4x x = 25/4 = 6.25 AB = 5 + 6.25 = 11.25 BC = 9/5 * 6.25 = 11.25 Теперь найдем AC = AP + PC = 5+4=9 Периметр треугольника ABC = 9+11.25+11.25 = 31.5 Ответ: Периметр треугольника ABC равен 31.5 дм.