1. В параллелограмме ABCD ∠A=45°, AB=3√2, BC=5. Найти скалярное произведение векторов: а) AD⋅AB; б) BA⋅BC; в) AD⋅BH

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства параллелограмма и определение скалярного произведения векторов. **а) AD⋅AB** В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому AD=BC=5. Угол между векторами AD и AB равен углу ∠A = 45°. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. \(AD \cdot AB = |AD| \cdot |AB| \cdot cos(∠A)\) \(AD \cdot AB = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot cos(45^\circ)\) \(AD \cdot AB = 5 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(AD \cdot AB = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15\) **б) BA⋅BC** Вектор BA противоположен по направлению вектору AB, поэтому |BA| = |AB| = 3√2. Угол между векторами BA и BC равен 180° - ∠B. Так как ∠A=45°, то ∠B=180°-45°=135°. Поэтому угол между BA и BC равен 180° - 135°=45°. \(BA \cdot BC = |BA| \cdot |BC| \cdot cos(∠(BA, BC))\) \(BA \cdot BC = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot cos(135^\circ)\) Так как косинус 135 градусов равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(BA \cdot BC = 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})\) \(BA \cdot BC = 15\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -15\) **в) AD⋅BH** BH это высота параллелограмма, опущенная из вершины B. Чтобы найти BH, рассмотрим треугольник ABH. Угол ∠BAH = ∠A = 45°. BH = AB * sin(45°) = 3√2 * (√2/2) = 3. Так как AD и BH перпендикулярны, то скалярное произведение равно 0. \(AD \cdot BH = 0\) **Ответ:** a) 15; б) -15; в) 0