1. В параллелограмме ABCD ∠A=30°, AB=2√3, BC=5. Найти скалярное произведение векторов: а) AD⋅AB; б) BA⋅BC; в) AD⋅BH

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства параллелограмма и определение скалярного произведения векторов. **а) AD⋅AB** В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому AD=BC=5. Угол между векторами AD и AB равен углу ∠A = 30°. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. \(AD \cdot AB = |AD| \cdot |AB| \cdot cos(∠A)\) \(AD \cdot AB = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos(30^\circ)\) \(AD \cdot AB = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(AD \cdot AB = 5 \cdot 3 = 15\) **б) BA⋅BC** Вектор BA противоположен по направлению вектору AB, поэтому |BA| = |AB| = 2√3. Угол между векторами BA и BC равен 180° - ∠B. Так как ∠A=30°, то ∠B=180°-30°=150°. Поэтому угол между BA и BC равен 180° - 150°=30°. \(BA \cdot BC = |BA| \cdot |BC| \cdot cos(∠(BA, BC))\) \(BA \cdot BC = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot cos(150^\circ)\) Так как косинус 150 градусов равен \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(BA \cdot BC = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})\) \(BA \cdot BC = 10\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -15\) **в) AD⋅BH** BH это высота параллелограмма, опущенная из вершины B. Чтобы найти BH, рассмотрим треугольник ABH. Угол ∠BAH = ∠A = 30°. BH = AB * sin(30°) = 2√3 * (1/2) = √3. Так как AD и BH перпендикулярны, то скалярное произведение равно 0. \(AD \cdot BH = 0\) **Ответ:** a) 15; б) -15; в) 0