Задание 10. Проводится серия одинаковых независимых испытаний до наступления успеха. Вероятность успеха на 0,25 меньше вероятности неудачи. Какова вероятность того, что: а) успех наступит не позже третьей попытки; б) успех наступит не раньше третьей попытки; в) успех наступит на третью, четвертую или шестую попытку?

Пусть (p) - вероятность успеха, а (q) - вероятность неудачи. Из условия (p = q - 0.25), и так как (p + q = 1), то (q - 0.25 + q = 1), следовательно, (2q = 1.25) и (q = 0.625), а (p = 1 - 0.625 = 0.375). а) Успех наступит не позже третьей попытки означает, что успех может произойти на первой, второй или третьей попытке. Вероятность этого равна (p + q \cdot p + q \cdot q \cdot p = 0.375 + 0.625 \cdot 0.375 + 0.625 \cdot 0.625 \cdot 0.375 = 0.375 + 0.234375 + 0.146484375 = 0.755859375). б) Успех наступит не раньше третьей попытки означает, что первые две попытки были неудачными. Третья попытка может быть успешной, а может и не быть, нас интересует именно то, что до третьей попытки успеха не было. Поэтому вероятность этого равна (q \cdot q = (0.625)^2 = 0.390625). в) Успех наступит на третью, четвертую или шестую попытку означает, что либо первые две попытки неудачные, а третья успешная, либо первые три неудачные, а четвертая успешная, либо первые пять неудачные, а шестая успешная. Вероятность этого равна (q \cdot q \cdot p + q \cdot q \cdot q \cdot p + q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot p = (0.625)^2 \cdot 0.375 + (0.625)^3 \cdot 0.375 + (0.625)^5 \cdot 0.375 = 0.146484375 + 0.091552734375 + 0.035762786865234375 = 0.27380). Ответ: а) 0.755859375 б) 0.390625 в) 0.27380