Задание 9. Проводится серия одинаковых независимых испытаний до наступления успеха. Вероятность успеха в 4 раза больше вероятности неудачи. Какова вероятность того, что: а) успех наступит до третьей попытки; б) успех наступит после третьей попытки; в) успех не наступит до четвертой попытки?

Пусть (p) - вероятность успеха, а (q) - вероятность неудачи. Из условия (p = 4q), и так как (p + q = 1), то (4q + q = 1), следовательно, (5q = 1) и (q = 0.2), а (p = 4 \cdot 0.2 = 0.8). а) Успех наступит до третьей попытки означает, что успех наступит на первой или второй попытке. Это значит, что либо первая попытка успешная, либо первая неудачная, а вторая успешная. Вероятность этого равна (p + q \cdot p = 0.8 + 0.2 \cdot 0.8 = 0.8 + 0.16 = 0.96). б) Успех наступит после третьей попытки означает, что первые три попытки были неудачными, а четвертая - успешной, или первые четыре неудачные и пятая успешная и т.д. Это более сложный случай, поэтому удобнее рассмотреть противоположное событие: успех наступит не позже третьей попытки (то есть, на первой, второй или третьей попытке), и вычесть эту вероятность из 1. Успех на первой попытке с вероятностью (p). Успех на второй попытке с вероятностью (qp). Успех на третьей попытке с вероятностью (q^2p). Тогда вероятность успеха не позже третьей попытки равна (p+qp+q^2p = 0.8 + 0.2*0.8 + 0.2^2 * 0.8 = 0.8 + 0.16 + 0.032 = 0.992). Тогда вероятность успеха после третьей попытки (1-0.992 = 0.008) в) Успех не наступит до четвертой попытки означает, что первые три попытки были неудачными. Вероятность этого равна (q \cdot q \cdot q = (0.2)^3 = 0.008). Ответ: а) 0.96 б) 0.008 в) 0.008