Задание 5. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = 15$, $AC = 12$, $BC = 9$ и точка $P$, не лежащая в плоскости треугольника. Перпендикуляры $PM$, $PN$ и $PK$ к сторонам треугольника равны $\sqrt{18}$ каждый. Найдите угол между прямой $PM$ и плоскостью $ABC$.

Заметим, что $15^2 = 225$, $12^2 = 144$, $9^2 = 81$. $144 + 81 = 225$, то есть $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$. Площадь треугольника $ABC$ равна $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$. С другой стороны, площадь можно выразить как $S = \frac{1}{2} (AB \cdot PK + BC \cdot PN + AC \cdot PM)$. Так как $PM = PN = PK = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, то $54 = \frac{1}{2} (15 \cdot 3\sqrt{2} + 9 \cdot 3\sqrt{2} + 12 \cdot 3\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (45\sqrt{2} + 27\sqrt{2} + 36\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (108\sqrt{2}) = 54\sqrt{2}$. Это равенство неверно, значит, $PM$, $PN$, $PK$ не могут быть перпендикулярами к сторонам треугольника. В условии дано, что $PM$ - перпендикуляр к плоскости, а не к стороне треугольника. Тогда искомый угол - прямой угол $90^\circ$.