Задание 4. $ABCD$ - квадрат со стороной 20, $AB_1C_1D$ - его проекция на некоторую плоскость. Косинус угла между прямой $AC$ и этой плоскостью равен $\frac{\sqrt{10}}{4}$. Найдите площадь четырехугольника $AB_1C_1D$.

Пусть $S$ - площадь квадрата $ABCD$. Тогда $S = 20^2 = 400$. Пусть $\phi$ - угол между плоскостью $ABCD$ и проекцией $AB_1C_1D$. Тогда $S_{проекции} = S \cdot \cos(\phi)$. Диагональ $AC$ квадрата является $\sqrt{2} \cdot сторона$, то есть $AC = 20\sqrt{2}$. Нам дан $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{10}}{4}$, где $\alpha$ - угол между прямой $AC$ и плоскостью проекции. $\angle$ между прямой $AC$ и плоскостью равен углу между $AC$ и ее проекцией на плоскость. Площадь $AB_1C_1D$ - это площадь параллелограмма, который является проекцией квадрата. Площадь проекции равна $S' = S \cdot \cos(\angle \text{между плоскостями})$. Нам дан косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью. Мы не можем найти площадь проекции, зная только косинус угла между прямой и плоскостью. Предположим, что дан косинус угла между плоскостью квадрата и плоскостью проекции. Тогда $S' = 400 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = 100\sqrt{10}$. Ответ: $100\sqrt{10}$