Задание 2. $ABCD$ - прямоугольник, $PB \perp ABCD$, $PB = 5\sqrt{3}$, угол между прямой $PD$ и плоскостью $ABCD$ равен $30^\circ$, $AB = 9$. Найдите длину $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PBD$, где $\angle PDB = 30^\circ$. $PB \perp BD$, поэтому $\tan(\angle PDB) = \frac{PB}{BD}$. $BD = \frac{PB}{\tan(30^\circ)} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, где $BD = 15$ и $AB = 9$. По теореме Пифагора, $AD^2 + AB^2 = BD^2$, $AD^2 = BD^2 - AB^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$. $AD = \sqrt{144} = 12$. Ответ: **в) 12**