Задание 1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите синус угла между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$.

Пусть ребро куба равно $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1DA$, где $B_1A$ - диагональ грани куба, лежащей в плоскости $AA_1B_1B$, а $AD$ - ребро куба. Тогда $B_1A = a\sqrt{2}$ и $AD = a$. Нам нужно найти синус угла между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$. Опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость $ABCD$. Основание перпендикуляра - точка $B$. Тогда угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$ - это угол $B_1DB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BD$. $B_1B = a$, $BD = a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата). Тогда $B_1D = \sqrt{B_1B^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. $\sin(\angle B_1DB) = \frac{B_1B}{B_1D} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: **a) $\frac{1}{\sqrt{3}}$**