Задание 3. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - правильная призма, угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$ равен $45^\circ$. Найдите угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $DD_1C_1C$.

Пусть $AA_1 = a$, $AB = b$. Поскольку призма правильная, то основание - квадрат. Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $ABCD$ - это угол $B_1DB = 45^\circ$. Тогда треугольник $B_1BD$ - прямоугольный и равнобедренный, то есть $B_1B = BD$, $a = b\sqrt{2}$. Найдем угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $DD_1C_1C$. Проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $DD_1C_1C$ является прямая $D_1D$. Тогда искомый угол $B_1DD_1$. $\tan(\angle B_1DD_1) = \frac{B_1D_1}{DD_1}$. $B_1D_1 = b$, $DD_1 = a = b\sqrt{2}$. $\tan(\angle B_1DD_1) = \frac{b}{b\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\angle B_1DD_1 = \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$. Можно вычислить приблизительное значение, но в условии нет вариантов ответа. Оставляем ответ в таком виде.