Задача 5, вариант 1: В прямоугольном треугольнике с острым углом 30° больший катет равен 18 см. На какие отрезки делит этот катет биссектриса большего острого угла треугольника?

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике с острым углом 30° другой острый угол равен 90° - 30° = 60°. Больший острый угол - это угол 60°. 2. Катет, противолежащий углу 60°, является большим катетом и равен 18 см. 3. Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где ∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30°, AC = 18 см. Проведем биссектрису AD угла A. 4. По свойству биссектрисы в треугольнике, BD/CD = AB/AC. 5. Найдем AB (гипотенузу): AC = AB * cos(60°), значит AB = AC / cos(60°) = 18 / (1/2) = 36 см. 6. BD/CD = 36/18 = 2, значит BD = 2 * CD. 7. BD + CD = BC. 8. Найдем BC (катет): BC = AB * sin(60°) = 36 * (√3 / 2) = 18√3 см. 9. BD + CD = 18√3. Заменим BD на 2CD, получим: 2CD + CD = 18√3, значит 3CD = 18√3, CD = 6√3 см. 10. BD = 2 * CD = 2 * 6√3 = 12√3 см. Ответ: Биссектриса делит катет на отрезки 6√3 см и 12√3 см.