Задача 3: В правильной треугольной пирамиде SABC точка N – середина ребра AC, S – вершина. Известно, что BC = 5, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SN.

В правильной треугольной пирамиде SABC основание - равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех боковых граней. Т.к. все грани равны, площадь одной боковой грани равна \(\frac{45}{3} = 15\). Боковая грань - равнобедренный треугольник. SN - это высота боковой грани, опущенная на сторону AC. Значит, площадь боковой грани: \[S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} * AC * SN\] Так как BC = AC = 5 (потому что основание - равносторонний треугольник), то AC = 5. \[15 = \frac{1}{2} * 5 * SN\] \[SN = \frac{15 * 2}{5}\] \[SN = \frac{30}{5}\] \[SN = 6\] Ответ: SN = 6.