Задача 4: Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 16 мм, боковые рёбра равны 17 мм. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат. Сторона основания a = 16 мм. Боковое ребро b = 17 мм. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания (квадрата) \(S_{\text{осн}} = a^2 = 16^2 = 256\) мм². Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно знать апофему (высоту боковой грани). Опустим высоту из вершины боковой грани на сторону основания. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - боковое ребро (17 мм), а один из катетов - половина стороны основания (8 мм). По теореме Пифагора, найдем апофему h: \[h^2 = 17^2 - 8^2\] \[h^2 = 289 - 64\] \[h^2 = 225\] \[h = \sqrt{225} = 15\text{ мм}\] Площадь одной боковой грани: \(S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} * a * h = \frac{1}{2} * 16 * 15 = 8 * 15 = 120\) мм². Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = 4 * S_{\text{грани}} = 4 * 120 = 480\) мм². Площадь полной поверхности: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 256 + 480 = 736\) мм². Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна 736 мм².