Задача 1: В правильной треугольной пирамиде SABC биссектрисы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 11 мм², объем пирамиды равен 121 мм³. Найдите длину отрезка OS.

В правильной треугольной пирамиде основание является равносторонним треугольником, а точка пересечения биссектрис (O) также является центром основания. OS - это высота пирамиды. Объем пирамиды (V) равен (\frac{1}{3} * S * h), где (S) - площадь основания, (h) - высота пирамиды. Из условия: (V = 121) мм³ и (S = 11) мм². Тогда: \[121 = \frac{1}{3} * 11 * OS\] \[OS = \frac{121 * 3}{11}\] \[OS = 11 * 3\] \[OS = 33\text{ мм}\] Ответ: OS = 33 мм.