Задача 5: Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

Пусть основанием пирамиды служит прямоугольник ABCD, а боковая грань ABS перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что высота пирамиды проходит через вершину B (или A, в зависимости от обозначения) и попадает в точку на стороне AD. Пусть AB - сторона прямоугольника, перпендикулярная основанию, тогда AB = 12 (высота пирамиды). Так как три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°, рассмотрим грань CDS. Проведем высоту из вершины S к стороне CD (обозначим её SK). Тогда угол между SK и плоскостью основания (угол между SK и KD) равен 60°. Тогда KD = \(\frac{AB}{\tan{60°}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\). Так как угол наклона граней BCD и ASD равен 60°, то KD = \(\frac{1}{2}AD\), следовательно, AD = \(2 * 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\). Площадь основания ABCD: \[S_{\text{осн}} = AB * AD = 12 * 8\sqrt{3} = 96\sqrt{3}\] Объем пирамиды: \[V = \frac{1}{3} * S_{\text{осн}} * h = \frac{1}{3} * 96\sqrt{3} * 12 = 32 * \sqrt{3} * 12 = 384\sqrt{3}\] Ответ: Объем пирамиды равен \(384\sqrt{3}\).