9. Внутри угла B, равного 60°, взята точка K. Расстояния от точки K до сторон угла равны 2 см и 3 см. Найдите расстояние от точки K до вершины угла B.

Обозначим расстояние от точки K до вершины угла B за x. Построим перпендикуляры от K к сторонам угла, обозначим их основания как A и C, так что KA = 2 и KC = 3. Тогда BAKC - четырехугольник. Рассмотрим треугольник BAK. Площадь треугольника BAK = 0.5 * BA * KA = 0.5 * BA * 2 = BA. Площадь треугольника BCK = 0.5 * BC * KC = 0.5 * BC * 3 = 1.5 * BC. Площадь треугольника BCK можно выразить через формулу герона или через высоту и основание. Необходимо использовать теорему косинусов. Поскольку угол 60, проще связать катеты 2 и 3 с расстоянием до вершины. По теореме косинусов, если (a) и (b) - расстояния до сторон угла, а (c) расстояние до вершины, то выполняется следующее соотношение: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)\] В данном случае, так как мы имеем угол в 60 градусов, и расстояния до сторон 2 и 3, мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника, образованных перпендикулярами из точки K к сторонам угла. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной B, точкой K и проекциями K на стороны угла. Обозначим расстояние от K до B как d. Воспользуемся формулой, связывающей расстояние от точки внутри угла до его сторон и до вершины: \[d = \frac{2}{\sin(\alpha)} \sqrt{p^2+q^2-2pq\cos(\alpha)}\] где (p) и (q) - расстояния от точки до сторон угла, а (\alpha) - величина угла. В нашем случае, (p = 2), (q = 3), и (\alpha = 60^\circ). Тогда (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), и (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}). \[d = \frac{2}{\sqrt{3}/2} \sqrt{2^2+3^2-2\cdot 2 \cdot 3\cdot \frac{1}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{4+9-6} = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{7} = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{21}}{3}\] \[d = \frac{4\sqrt{21}}{3} \approx 6.11\] **Ответ: \(\frac{4\sqrt{21}}{3}\) см, приблизительно 6.11 см.**