10. Решите уравнение ((x² + 2x + 3)² - 17(x²+2x + 3) = 18). В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |x| ≤ 4.

Пусть (y = x^2 + 2x + 3). Тогда уравнение принимает вид: (y^2 - 17y = 18) (y^2 - 17y - 18 = 0) Решим квадратное уравнение относительно y: D = (b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 289 + 72 = 361) (y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{361}}{2} = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18) (y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{361}}{2} = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1) Теперь вернемся к переменной x: 1) (x^2 + 2x + 3 = 18) (x^2 + 2x - 15 = 0) D = (2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64) (x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3) (x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5) 2) (x^2 + 2x + 3 = -1) (x^2 + 2x + 4 = 0) D = (2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12) Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Итак, корни исходного уравнения: 3 и -5. Проверим условие (|x| \le 4): Для (x = 3): (|3| = 3 \le 4) (условие выполняется) Для (x = -5): (|-5| = 5 > 4) (условие не выполняется) Таким образом, единственным целым корнем, удовлетворяющим условию, является x = 3. **Ответ: 3**