24. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник (ABC) с тупым углом (ABC). Проведены высоты (AA_1) и (CC_1), где (A_1) лежит на (BC), а (C_1) лежит на (AB). 2. Рассмотрим четырехугольник (A_1ACC_1). Так как (\angle AA_1C = 90^\circ) и (\angle AC_1C = 90^\circ), то точки (A_1) и (C_1) лежат на окружности с диаметром (AC). 3. Углы (\angle BA_1A) и (\angle BC_1C) прямые. Следовательно, точки (A_1) и (C_1) лежат на окружности с диаметром (BC). 4. Рассмотрим треугольники (\triangle A_1BC_1) и (\triangle ABC). У них общий угол (B). Нам нужно доказать, что (\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}), чтобы доказать подобие. 5. Рассмотрим прямоугольные треугольники (\triangle AA_1B) и (\triangle CC_1B). Из (\triangle AA_1B): (\sin(\angle B) = \frac{AA_1}{AB}) или (AA_1 = AB \cdot \sin(\angle B)). Из (\triangle CC_1B): (\sin(\angle B) = \frac{CC_1}{BC}) или (CC_1 = BC \cdot \sin(\angle B)). 6. Рассмотрим четырехугольник (AC_1A_1C). Так как сумма противоположных углов (\angle AC_1C + \angle AA_1C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ), то около этого четырехугольника можно описать окружность. Тогда углы (\angle CA_1A) и (\angle CC_1A) опираются на одну и ту же дугу (CA), значит они равны. 7. Рассмотрим подобие треугольников (\triangle A_1BC_1) и (\triangle ABC). По определению синуса в треугольнике (\triangle AA_1B): (\sin B = \frac{AA_1}{AB}\). Значит, (AA_1 = AB \sin B). По определению синуса в треугольнике (\triangle CC_1B): (\sin B = \frac{CC_1}{BC}\). Значит, (CC_1 = BC \sin B). По определению косинуса в треугольнике (\triangle AA_1B): (\cos B = \frac{BA_1}{AB}\). Значит, (BA_1 = AB \cos B). По определению косинуса в треугольнике (\triangle CC_1B): (\cos B = \frac{BC_1}{BC}\). Значит, (BC_1 = BC \cos B). 8. Тогда (\frac{BA_1}{BA} = \frac{AB \cos B}{AB} = \cos B) и (\frac{BC_1}{BC} = \frac{BC \cos B}{BC} = \cos B). Значит, (\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}). 9. Следовательно, треугольники (\triangle A_1BC_1) и (\triangle ABC) подобны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.