23. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 14.

Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC) с прямым углом (B). Высота (BH) опущена на гипотенузу (AC). 2. Окружность с диаметром (BH) пересекает (AB) в точке (P), а (BC) в точке (K). 3. Так как (BH) - диаметр, то (\angle BPH = 90^\circ) и (\angle BKH = 90^\circ). Значит, (HP \perp AB) и (HK \perp BC). 4. Рассмотрим четырехугольник (BPHK). Сумма углов (\angle BPH + \angle BKH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ). Значит, около четырехугольника (BPHK) можно описать окружность (что уже дано в условии). 5. Углы (\angle HPK) и (\angle HBK) опираются на одну и ту же дугу (HK). Значит, (\angle HPK = \angle HBK). Аналогично, (\angle HKB = \angle HPB). 6. Так как (\angle HBK = 90^\circ), то (BPHK) - прямоугольник. Так как углы опираются на один и тот же отрезок (HK), (\angle HPK = \angle ABC/2 = 45^\circ) 7. Так как (\angle B = 90^\circ), то (\angle A + \angle C = 90^\circ). 8. Треугольники (\triangle BPK) и (\triangle BAC) подобны. Значит, \(\frac{PK}{AC} = \frac{BP}{BA} = \frac{BK}{BC}\). 9. Заметим, что (PK) - гипотенуза прямоугольного треугольника (PBK), образованного точками на сторонах (AB) и (BC), причем (\angle PBK = 90^\circ). Также (BH) - гипотенуза прямоугольного треугольника (BHK). 10. Так как (P) и (K) лежат на окружности с диаметром (BH), а (\angle PBK= 90^\circ\), то (PK) является хордой. Но по условию задачи (P) и (K) соответствуют пересечению окружности со сторонами (AB) и (BC), и четырехугольник (PBKH) является прямоугольником (так как все углы прямые). Тогда (PK = BH) (диагонали прямоугольника равны). 11. Значит, (BH = PK = 14). Ответ: 14.