8. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, А равна 9. Найдите длину стороны АС.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) с углом B = 120° углы A и C равны. Угол A = угол C = (180° - 120°)/2 = 60°/2 = 30°. Пусть высота из вершины A пересекает BC в точке H. Тогда в прямоугольном треугольнике AHB угол BAH = 90 - угол B = 90 - 30 = 60. Знаем, что AH = 9, а sin угла B = AH / AB, то есть sin 30 = 9/AB, значит AB = 9 / sin 30 = 9 / 0.5 = 18. Проведем высоту BD к основанию AC. Треугольник ABD - прямоугольный с гипотенузой AB. Тогда AD = AB * cos A = 18 * cos 30 = 18 * sqrt(3)/2 = 9sqrt(3). Т.к. высота в равнобедренном треугольнике является медианой, то AC = 2*AD = 2 * 9 * sqrt(3) = 18sqrt(3).