38. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: АВ=9, AD=12, AA1=18. Найдите синус угла между прямыми А1D1 и АС.

В прямоугольном параллелепипеде A1D1 || AD и AC - диагональ прямоугольника ABCD. AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15. Рассмотрим векторы \vec{A1D1} и \vec{AC}. \vec{A1D1} = \vec{AD}. \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD}. cos(\alpha) = \frac{\vec{A1D1} \cdot \vec{AC}}{|\vec{A1D1}| |\vec{AC}|} = \frac{\vec{AD} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})}{|\vec{AD}| |\vec{AC}|} = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AB} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AD}| |\vec{AC}|}. Так как \vec{AD} \perp \vec{AB}, то \vec{AD} \cdot \vec{AB} = 0. cos(\alpha) = \frac{|\vec{AD}|^2}{|\vec{AD}| |\vec{AC}|} = \frac{|\vec{AD}|}{|\vec{AC}|} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}. sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}.