4. Точка $D$ не лежит в плоскости треугольника $ABC$, точки $M$, $N$, $P$ – середины отрезков $DA$, $DB$ и $DC$ соответственно, точка $K$ лежит на отрезке $BN$ (см. рис.). Выясните взаимное расположение прямых: 1) $PK$ и $BC$; 2) $MP$ и $AC$; 3) $MD$ и $BC$.

1. $PK$ и $BC$: * Так как $P$ – середина $DC$, а $N$ – середина $DB$, то $PN$ – средняя линия треугольника $DBC$. Следовательно, $PN \parallel BC$. * Точка $K$ лежит на отрезке $BN$, поэтому $K$ лежит в плоскости $DBC$. Таким образом, прямая $PK$ лежит в плоскости $DBC$, а значит, $PK$ и $BC$ лежат в одной плоскости. Т.к. $PK$ не параллельна $BC$ и не совпадает с ней, то $PK$ и $BC$ пересекаются. 2. $MP$ и $AC$: * Так как $M$ – середина $DA$, а $P$ – середина $DC$, то $MP$ – средняя линия треугольника $ADC$. Следовательно, $MP \parallel AC$. 3. $MD$ и $BC$: * Т.к. $M$ лежит на $DA$, то $MD$ лежит на $DA$. Прямая $DA$ не лежит в плоскости $ABC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$. Прямые $MD$ и $BC$ не пересекаются и не параллельны, значит они скрещивающиеся.