5) Расстояние от центра $O$ окружности до хорды $AB$ равно 4 см. Радиус $OB$ образует с хордой $AB$ угол, градусная мера которого равна $45^\circ$. Найдите длину хорды $AB$

Пусть $M$ - середина хорды $AB$, тогда $OM$ - перпендикуляр к $AB$ и $OM = 4$ см. $\angle OBM = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $OMB$: $\sin(\angle OBM) = \frac{OM}{OB}$ $\sin(45^\circ) = \frac{4}{OB}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{OB}$ $OB = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см. $\cos(\angle OBM) = \frac{BM}{OB}$ $\cos(45^\circ) = \frac{BM}{4\sqrt{2}}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{BM}{4\sqrt{2}}$ $BM = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см. Тогда $AB = 2 \cdot BM = 2 \cdot 4 = 8$ см. Ответ: Длина хорды $AB$ равна 8 см.