8) На рисунке $\angle A = 70^\circ$, $d(K, AC) = d(K, AD)$, $AM = AN$. Найдите градусную меру $\angle MNK$

Так как $d(K, AC) = d(K, AD)$, то $AK$ - биссектриса $\angle CAD$, то есть $\angle CAK = \angle DAK$. $\angle CAD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. Тогда $\angle CAK = \angle DAK = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$. Так как $AM = AN$, то треугольник $AMN$ - равнобедренный. Значит, $\angle AMN = \angle ANM$. $\angle MAN = 70^\circ$, тогда $\angle AMN = \angle ANM = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$. $\angle AKC = 90^\circ$, значит, $\angle AKM = 90^\circ$. $\angle MAK = 10^\circ$, следовательно, $\angle AMK = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$. $\angle NMK = \angle AMK - \angle AMN = 80^\circ - 55^\circ = 25^\circ$. $\angle DNK = 90^\circ$, значит, $\angle ANK = 90^\circ$. $\angle NAK = 10^\circ$, следовательно, $\angle ANK = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$. $\angle ANM = 55^\circ$, следовательно, $\angle MNK = 90 - 55 = 35 - 10= 25^\circ$. Ответ: 5) $25^\circ$